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By Daniel Schaub

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Relations soignants–soignés

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Du Symptôme à la Prescription en Médecine Générale

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APPENDICE : SUITES EXACTES Supposons f (x) = f (y) et consid´erons X = {a} un singleton et u, v : X → E d´efinies respectivement par u(a) = x, v(a) = y. Alors on a f (u(a)) = f (v(a)), d’o` u par hypoth`ese u = v et donc x = u(a) = v(a) = y. On proc`ede de mani`ere analogue pour la surjectivit´e. Revenons aux homomorphismes de groupes. Dans ce cas, il n’est pas vrai, que si f est un homomorphisme de groupes, f est injective implique qu’il existe un homomorphisme de groupes r : F → E tel que rf = IdE .

U(x), u(y) >=< x, y >. Si A est la matrice de u dans une base orthonorm´ee, elle v´erifie A−1 = t A. L’ensemble des automorphismes unitaires de V forme un sous-groupe de Gl(V ), appel´e groupe unitaire de V et not´e U (V ) (U (lCn ) est le groupe des matrices n × n repr´esentant les automorphismes unitaires de C l n muni du produit hermitien ordinaire ie. les matrices telles que A−1 = t A). 3 Toute repr´esentation ρ : G → Gl(V ) d’un groupe fini G, o` u V est un espace hermitien, est ´equivalente ` a une repr´esentation unitaire c` ad.

Soit `a pr´esent u : f (E) ×φ G → F l’application d´efinie par u((f (e), g)) = f (e)s(g). C’est un homomorphisme de groupes : u((f (e), g)(f (e ), g )) = u((f (e)φ(g)(f (e )), gg ) = u((f (e)s(g)f (e )s(g)−1 , gg ) = f (e)s(g)f (e )s(g)−1 s(g)s(g ) = f (e)s(g)f (e )s(g ) = u((f (e), g)u(f (e ), g ). Il est injectif : f (e)s(g) = 1 ⇒ 1 = p(f (e)s(g)) = pf (e)ps(g) = 1 × g = g, donc g = 1 et par cons´equent, f (e) = 1. Il est surjectif : Soit x ∈ F , alors x = xs(p(x))−1 s(p(x)). Or p(xs(p(x))−1 ) = p(x)p(x)−1 = 1, d’o` u xs(p(x))−1 ∈ ker(p) = im(f ), ie.

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